1. 本題要求以黎曼和的極限處理直線 $f(x)=3-2x$ 在 $[-1,2]$ 上的面積問題。要先注意曲線在 $x=\frac32$ 穿越 $x$ 軸；因此普通黎曼和給出的是帶符號積分，而幾何面積還要在穿越處分段取正負面積。
2. 根據定積分定義，在 $[a, b]$ 上的黎曼和極限即為定積分值： $\int_{a}^{b} f(x) \,\mathrm{d}x = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x$ 這裡的 $a = -1$，$b = 2$。
3. 第一步：分割區間 我們將區間 $[-1, 2]$ 進行 $n$ 等分，每個子區間的寬度為： $\Delta x = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - (-1)}{n} = \frac{3}{n}$
4. 第二步：選取樣本點 我們採用右端點作為樣本點 $x_i$： $x_i = a + i \Delta x = -1 + i \left( \frac{3}{n} \right) = -1 + \frac{3i}{n}, \quad i = 1, 2, \dots, n$
5. 第三步：建構並求和黎曼和 將 $x_i$ 代入函數 $f(x) = 3 - 2x$： $f(x_i) = 3 - 2\left( -1 + \frac{3i}{n} \right) = 5 - \frac{6i}{n}$ 建立黎曼和級數： $S_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i) \Delta x = \sum_{i=1}^{n} \left( 5 - \frac{6i}{n} \right) \frac{3}{n}$ 利用求和公式 $\sum_{i=1}^n 1 = n$ 與 $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ 將級數展開化簡。
6. 第四步：取 $n \to \infty$ 的極限，先得到帶符號定積分值；再利用 $x=\frac32$ 分段，得到原文「面積」按通常幾何意義應有的正值。

我們將區間 $[a, b] = [-1, 2]$ 劃分為 $n$ 個長度相等的子區間。

第一步：計算子區間寬度與樣本點

每個子區間的寬度為：

我們選擇每個子區間的右端點作為黎曼和的計算樣本點 $x_i$：

第二步：求出樣本點的函數值並列出黎曼和

將 $x_i$ 代入函數 $f(x) = 3 - 2x$：

建構黎曼和 $S_n$：

第三步：利用求和公式化簡級數

利用常用的級數求和公式：

• $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 1 = n$
• $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$

將公式代回 $S_n$：

第四步：取無窮大極限得到帶符號定積分

黎曼和在分點數 $n \to \infty$ 時的極限為：

這個值是帶符號定積分；直接積分也得到相同結果：

與黎曼和極限計算結果一致。

第五步：若依通常的幾何面積解讀，必須在過零點分段

因為 $3-2x=0$ 時 $x=\frac32$，且函數在 $\left[\frac32,2\right]$ 為負，幾何面積應為：

結論：

• 黎曼和 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$ 的帶符號值為 $6$。
• 若題目的「面積」按通常幾何面積解讀，則答案為 $\displaystyle\frac{13}{2}$。