題目

Problem

2. Let $xy + e^{xz} + yz^2 = 0$ . Find $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(0, 1, 2)$ . (10%)

題目勘誤

官方原題： $xy+e^{xz}+yz^2=0$ ，並要求計算 $\frac{\partial z}{\partial x}(0,1,2)$ 。

實際上應為： $(0,1,2)$ 代入左式為 $0+1+4=5\ne0$ ，不在此曲面上；因此題目所問的隱函數偏導在該點無法定義。

本頁保留官方原題，未替換原題條件。

解答

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我們設定三變數隱函數方程式為：

\Phi(x, y, z) = xy + e^{xz} + yz^2 = 0

根據多變數隱函數微分公式，偏導數 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$ 可以表示為：

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\Phi_x}{\Phi_z} \quad \text{--- (1)}

我們先作形式微分，對 $\Phi(x, y, z)$ 關於 $x$ 與 $z$ 求偏導函數：

關於 $x$ 求偏導（將 $y, z$ 視為常數）： $\Phi_x = \frac{\partial}{\partial x} \left( xy + e^{xz} + yz^2 \right) = y + z e^{xz}$

* **關於 $z$ 求偏導**（將 $x, y$ 視為常數）：

\Phi_z = \frac{\partial}{\partial z} \left( xy + e^{xz} + yz^2 \right) = x e^{xz} + 2yz

將偏導結果代回式 (1)：

\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y + z e^{xz}}{x e^{xz} + 2yz}

雖然把給定三元組代入這個**形式公式**會得到：

\frac{\partial z}{\partial x}(0, 1, 2) = -\frac{1 + 2 e^{0 \cdot 2}}{0 \cdot e^{0 \cdot 2} + 2(1)(2)} = -\frac{1 + 2}{0 + 4} = -\frac{3}{4}

但 $(0,1,2)$ 不滿足原方程，並不是曲面上的點，因此這個代入值不能作為隱函數偏導數。 **結論：** 在官方所給的點 $(0,1,2)$，$\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}$ **不存在**。 </details>