題目

Problem

2. Let $(\cos x)^{\sin y} = 1$ . Find $\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ . (10%)

題目勘誤

官方原題：只給出 $(\cos x)^{\sin y}=1$ ，要求 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ，但未指定曲線分支或點。

實際上應為：在實數範圍且 $\cos x>0$ 時，解集由 $y=k\pi$ 的水平分支（限於 $\cos x>0$ 的區間）及 $x=2k\pi$ 的垂直分支組成；它不是單一的 $y(x)$ ，故不存在一個全域的 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 。水平分支的導數為 $0$ ，垂直分支則不能寫成 $y$ 對 $x$ 的函數。

本頁保留官方原題，未替換原題條件；以下依各分支說明可定義的導數。

解答

解法一

思路

展開

在實數範圍，冪式先要求 $\cos x>0$ ；對兩邊取對數後得到 $\sin y\ln(\cos x)=0$ 。
這是一個乘積為零的方程式，應先分支，不能把兩個可能為零的因子除掉。
$\sin y=0$ 給出 $y=k\pi$ 的水平分支（限於 $\cos x>0$ ），其導數為 $0$ ； $\ln(\cos x)=0$ 給出垂直分支 $x=2k\pi$ ，不是 $y$ 對 $x$ 的函數。

答題過程

展開

在實數範圍， $(\cos x)^{\sin y}$ 必須先有 $\cos x>0$ 。因此可對方程式取對數：

\sin y\,\ln(\cos x)=\ln(1)=0.

這一步只能推出兩個分支，不能直接同除以 $\cos y\ln(\cos x)$ ：

\sin y=0\qquad\text{或}\qquad\ln(\cos x)=0.

第一個分支給出 $y=k\pi$ ，其中 $k\in\mathbb Z$ ；同時仍須保留 $\cos x>0$ 的定義域限制。這些水平分支上的導數為

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0.

第二個分支給出 $\cos x=1$ ，即 $x=2k\pi$ 。這些是垂直直線，不能在其上把 $y$ 寫成 $x$ 的函數；在與水平分支的交點處，曲線也沒有唯一切線。

因此原題未指定分支或點時，沒有唯一的全域導數公式；可定義為函數的水平分支上，答案是 $\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0}$ 。

112 政治大學微積分(應數大二一) 第 2 題

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