題目
Problem
Evaluate each of the following limits. If the limit does NOT exist, then state “the limit does not exist” and provide the reason.
(1) lim x → − ∞ 4 x 2 + x + 7 5 x − 1 \displaystyle \lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^2+x+7}}{5x-1} x → − ∞ lim 5 x − 1 4 x 2 + x + 7 lim x → ∞ x x − sin x \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-\sin x} x → ∞ lim x − sin x x lim ( x , y ) → ( 0 , 0 ) 3 y 2 − x 2 x 2 + y 2 \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{3y^2-x^2}{x^2+y^2} ( x , y ) → ( 0 , 0 ) lim x 2 + y 2 3 y 2 − x 2
解答
(1)
解法一
展開
因為 x → − ∞ x\to-\infty x → − ∞ x x x x 2 x^2 x 2 ∣ x ∣ = − x |x|=-x ∣ x ∣ = − x
lim x → − ∞ 4 x 2 + x + 7 5 x − 1 = lim x → − ∞ ∣ x ∣ 4 + 1 x + 7 x 2 x ( 5 − 1 x ) = − 4 5 = − 2 5 . \begin{align*}
\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{4x^2+x+7}}{5x-1}
=&\,\lim_{x\to-\infty}
\frac{|x|\sqrt{4+\frac1x+\frac7{x^2}}}{x\left(5-\frac1x\right)} \\[4mm]
=&\,-\frac{\sqrt4}{5}=-\frac25.
\end{align*} x → − ∞ lim 5 x − 1 4 x 2 + x + 7 = = x → − ∞ lim x ( 5 − x 1 ) ∣ x ∣ 4 + x 1 + x 2 7 − 5 4 = − 5 2 . 因此極限值為 − 2 5 \boxed{-\frac25} − 5 2
(2)
解法一
展開
利用 − 1 ≤ sin x ≤ 1 -1\leq\sin x\leq1 − 1 ≤ sin x ≤ 1 x > 1 x>1 x > 1
x − 1 ≤ x − sin x ≤ x + 1. x-1\leq x-\sin x\leq x+1. x − 1 ≤ x − sin x ≤ x + 1. 各量皆為正，取倒數並乘上 x x x
x x + 1 ≤ x x − sin x ≤ x x − 1 . \frac{x}{x+1}\leq\frac{x}{x-\sin x}\leq\frac{x}{x-1}. x + 1 x ≤ x − sin x x ≤ x − 1 x . 左右兩端在 x → ∞ x\to\infty x → ∞ 1 1 1
lim x → ∞ x x − sin x = 1. \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-\sin x}=1. x → ∞ lim x − sin x x = 1. 因此極限值為 1 \boxed{1} 1
(3)
解法一
展開
分別沿兩條路徑趨近原點：
3 ( 0 ) 2 − x 2 x 2 + ( 0 ) 2 = − 1 ( y = 0 ) , \frac{3(0)^2-x^2}{x^2+(0)^2}=-1\qquad (y=0), x 2 + ( 0 ) 2 3 ( 0 ) 2 − x 2 = − 1 ( y = 0 ) , 而
3 y 2 − ( 0 ) 2 ( 0 ) 2 + y 2 = 3 ( x = 0 ) . \frac{3y^2-(0)^2}{(0)^2+y^2}=3\qquad (x=0). ( 0 ) 2 + y 2 3 y 2 − ( 0 ) 2 = 3 ( x = 0 ) . 兩條路徑所得的極限值不同，因此二變數極限不存在。
the limit does not exist \boxed{\text{the limit does not exist}} the limit does not exist 