題目

Problem

9. For $m \ge 0$ , $n \ge 0$ , define $G(m,n) = \displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^n\,\mathrm{d}x$ . Which of the following statements is false?

(A) $0 \le G(m,n) \le 1$ for $m \ge 0$ , $n \ge 0$ .

(B) $(m+1)G(m, n+1) = (n+1)G(m+1, n)$ for $m \ge 0$ , $n \ge 0$ .

(D) $G(m,n) = G(n,m)$ for $m \ge 0$ , $n \ge 0$ .

(E) $G(m,0) = 1/(m+1)$ for $m \ge 0$ .

解答

展開

$G(m,n) = \displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^n\,\mathrm{d}x$ 是 Beta 函數 $B(m+1,n+1)$ ，因此 $G(m,n) = \frac{\Gamma(m+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(m+n+2)}.$ 題設的 $m,n$ 可以是任意非負實數；只有在兩者都是非負整數時，才可以把 Gamma 函數改寫成階乘。
利用這個公式，選項 (C) 要求計算 $1/G(m,2)$ ——把 $n = 2$ 代入後就能判斷係數對不對。
選項 (D) 是 Beta 函數的對稱性，可以直接換元 $t = 1-x$ 來驗證。
重點在選項 (C)：計算 $G(m,2)$ 時分母的 $(m+n+1)! = (m+3)!$ ，要展開成 $(m+1)(m+2)(m+3)$ 並注意分子 $2!$ 的存在—— $G(m,2) = \dfrac{2}{(m+1)(m+2)(m+3)}$ ，故 $1/G(m,2) = \dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)}{2}$ ，而非 $(m+1)(m+2)(m+3)$ 。

展開

建立 $G(m,n)$ 的閉合式。 利用 Beta 函數公式：

G(m,n) = B(m+1,n+1) = \frac{\Gamma(m+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(m+n+2)}

逐一驗算各選項：

(A) 對 $x \in [0,1]$ ， $x^m \in [0,1]$ 且 $(1-x)^n \in [0,1]$ ，故 $0 \le x^m(1-x)^n \le 1$ ，積分長度為 $1$ ，因此 $0 \le G(m,n) \le 1$ 。✓

(B) 利用 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ 計算：

(m+1)G(m,n+1) = \frac{\Gamma(m+2)\Gamma(n+2)}{\Gamma(m+n+3)}

(n+1)G(m+1,n) = \frac{\Gamma(m+2)\Gamma(n+2)}{\Gamma(m+n+3)}

兩式相等。✓

(C) 為避免把實數參數誤當成整數，直接展開 $(1-x)^2$ ：

\begin{align*} G(m,2) =&\, \int_0^1 x^m(1-2x+x^2)\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \frac{1}{m+1}-\frac{2}{m+2}+\frac{1}{m+3} \\[4mm] =&\, \frac{2}{(m+1)(m+2)(m+3)} \end{align*}

故：

\frac{1}{G(m,2)} = \frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{2}

但選項宣稱 $1/G(m,2) = (m+1)(m+2)(m+3)$ ，少了分母的 $2$ 。此敘述為假。✗

(D) 令 $t = 1-x$ ，則 $\mathrm{d}t = -\mathrm{d}x$ ，積分範圍由 $0\to 1$ 變為 $1\to 0$ ：

G(m,n) = \int_0^1 x^m(1-x)^n\,\mathrm{d}x = \int_0^1(1-t)^m t^n\,\mathrm{d}t = G(n,m)

✓

(E) $G(m,0) = \displaystyle\int_0^1 x^m\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^{m+1}}{m+1}\bigg|_0^1 = \dfrac{1}{m+1}$ 。✓

結論： 選項 (C) 為錯誤敘述。 $1/G(m,2) = \dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)}{2}$ ，而非 $(m+1)(m+2)(m+3)$ ——分子多了一個 $2$ 因為 $n = 2$ 時的 $n! = 2$ 。