題目
Problem
5. (10%) Let S={(x,y,z,w)∈R4:x2+y2+z2+w2=1}. Find the volume of S.
題目勘誤
官方原題：以 x2+y2+z2+w2=1 定義 S，並要求其體積。
實際上應為：依原式，S 是四維空間中的三維球面，四維體積為 0；若將等號改成 ≤，才會是通常所稱的四維單位球，其四維體積為 π2/2。
本頁保留官方原題，以下按原題的等號條件作答。
解答
解法一
思路
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題設的等號只描述半徑為 1 的三維球面，而不是四維單位球的內部。這種三維超曲面在 R4 中少一個維度，因此不含四維體積。
答題過程
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由題設
S={(x,y,z,w)∈R4:x2+y2+z2+w2=1}
可知 S 是四維空間中的單位 3-sphere，也就是三維球面；它不是由 x2+y2+z2+w2≤1 所給出的四維球體。
球面在所在空間中少一個維度，故其四維 Lebesgue 體積為 0。因此按官方原題：
Vol4(S)=0.
