題目

Problem

Let $f(x,y)=x\sin(x^2+y)+x+y$ for $x,y\in(-\infty,\infty)$ . Which of the following statement is true?

(a) $\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{x(x^2+y)}=1$ .

(b) $\displaystyle\int_0^a f(x,y)\,dy=-x\cos(x^2+a)+x\cos(x^2)+ax+\frac{a^2}{2}$ for $a>0$ .

(d) The tangent plane to the surface $z=f(x,y)$ at the point $(0,0,0)$ is $z=2x+y$ .

(e) None of the above statements is true.

解答

先求偏導數並代入原點：

\begin{align*} f_x(x,y) =&\,\sin(x^2+y)+2x^2\cos(x^2+y)+1,\\[4mm] f_y(x,y) =&\,x\cos(x^2+y)+1. \end{align*}

所以 $f(0,0)=0$ 、 $f_x(0,0)=1$ 、 $f_y(0,0)=1$ 。曲面在原點的切平面為

z=f(0,0)+f_x(0,0)x+f_y(0,0)y=x+y,

故 (d) 錯誤。

再檢查 (b)。對 $y$ 積分時， $x$ 是常數：

\begin{align*} \int_0^a f(x,y)\,\mathrm{d}y =&\,\int_0^a\bigl(x\sin(x^2+y)+x+y\bigr)\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,-x\cos(x^2+a)+x\cos(x^2)+ax+\frac{a^2}{2}, \end{align*}

正是 (b)。

至於 (a)，沿 $y=0$ 逼近時，分式化為

\frac{x\sin x^2+x}{x^3} =\,\frac{\sin x^2+1}{x^2},

並不趨於 $1$ ；(c) 也不是 $f_y$ 。

答案： (b)。