題目

Problem

Find the absolute maximum value of the function

f(x,y)=x^2+xy+y^2

on the circular region

R=\{x^2+y^2\le 1\}.

(a) $3$

(b) $2$

(d) $1$

(e) None of the above.

解答

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x^2+xy+y^2= \begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1&1/2\\1/2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.

矩陣的特徵值為 $\frac32$ 、 $\frac12$ 。在 $x^2+y^2\le1$ 上，二次型最大值為最大特徵值，故

\boxed{\max_Rf=\frac32}.

答案為 $\boxed{\text{(c)}}$ 。