題目

Problem

Find the point that corresponds to the relative minimum of

f(x,y)=x^3-y^2-xy+1.

(a) $(0,0)$

(b) $\left(-\frac16,\frac1{12}\right)$

(d) Does not exist.

(e) None of the above.

解答

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前題的臨界點為 $(0,0)$ 與 $\left(-\frac16,\frac1{12}\right)$ ，且

D=-12x-1.

在原點 $D=-1<0$ ，是鞍點；在 $\left(-\frac16,\frac1{12}\right)$ ， $D=1>0$ 但 $f_{xx}=-1<0$ ，是相對極大點。因此沒有相對極小值，答案為

\boxed{\text{(d)}}.