Problem

Find the integral

$$\int_0^\infty x^n e^{-x^2}\,dx.$$

(a) $\dfrac12\Gamma\!\left(\dfrac{n+1}{2}\right)$

(b) $\dfrac12\Gamma\!\left(\dfrac{n}{2}\right)$

(c) $\dfrac12\Gamma\!\left(\dfrac{n-1}{2}\right)$

(d) $\Gamma\!\left(\dfrac{n}{2}\right)$

(e) None of the above.