題目

Problem

Let

D=\{(x,y):x\ge 0,\ y\ge 0,\ 0\le x^2+4y^2\le 4\}

and let

f(x,y)=\frac{3}{\pi}\sqrt{x^2+4y^2}

for $(x,y)\in D$ . Which of the following statements is true?

(a) $-\infty<\int_D f(x,y)\,d(x,y)\le 2$ .

(b) $2<\int_D f(x,y)\,d(x,y)\le 4$ .

(d) $6<\int_D f(x,y)\,d(x,y)\le 8$ .

(e) None of the above statements is true.

解答

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令 $u=x$ 、 $v=2y$ ，則 $\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac12\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v$ 。再令 $u=r\cos\theta,v=r\sin\theta$ ：

\begin{align*} \iint_Df\,\mathrm{d}A =&\,\frac{3}{2\pi}\int_0^{\pi/2}\int_0^2r^2\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\boxed2. \end{align*}

答案為 $\boxed{\text{(a)}}$ 。