題目

Problem

Let $D=\{(x,y):1\le x^2+y^2\le 2,\ x\ge 0\text{ and }y\ge 0\}$ and

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{xy}{x^2+y^2}, & x^2+y^2>0,\\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}

(a) (5 pts) Determine whether $f$ is continuous at $(0,1)$ . Justify your answer.

(b) (5 pts) Find $f_y(0,0)$ .

(d) (5 pts) Does $f$ have a relative minimum at $(0,0)$ ? Justify your answer.

解答

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(a) 在 $(0,1)$ 有 $x^2+y^2=1>0$ ，附近皆可用

f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}.

此為分母不為零的有理函數，故 $\boxed{f\text{ 在 }(0,1)\text{ 連續}}$ 。

(b)

f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}=\boxed0.

(c) 令 $x=r\cos\theta$ 、 $y=r\sin\theta$ 。在 $D$ 中 $1\le r\le\sqrt2$ 、 $0\le\theta\le\frac\pi2$ ，且

f=\sin\theta\cos\theta.

故

\begin{align*} \iint_Df\,\mathrm{d}A =&\,\int_0^{\pi/2}\int_1^{\sqrt2}\sin\theta\cos\theta\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta =\boxed{\frac14}. \end{align*}

(d) 沿 $y=-x$ （ $x\ne0$ ）接近原點時，

f(x,-x)=-\frac12<0=f(0,0).

故 $\boxed{f\text{ 在 }(0,0)\text{ 沒有相對極小值}}$ 。