題目

Problem

Let $f(x)=\sin(x)/x$ for $x\ne 0$ and $g(x)=x\cos(x)-\sin(x)$ for $x\in(-\infty,\infty)$ .

(a) (5 pts) Is it possible to define $f(0)$ so that $f$ is differentiable at $0$ ? Justify your answer.

(b) (5 pts) Suppose that $I$ is an open interval and $I\subset(0,\infty)$ . Show that if $g(x)>0$ for $x\in I$ , then $f$ is increasing on $I$ .

(d) (5 pts) Suppose that $f(0)$ is defined so that $f$ is continuous at $0$ . Does $f$ have a relative maximum at $0$ ? Justify your answer.

解答

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(a) 為了連續，必須定義 $f(0)=1$ 。此時

f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\sin x/x-1}{x} =\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^2}=0,

最後一個極限可由夾擠定理或 $\sin x=x+O(x^3)$ 得到。因此 $\boxed{\text{可以，且 }f'(0)=0}$ 。

(b) 對 $x>0$ ，

f'(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}=\frac{g(x)}{x^2}.

若 $g(x)>0$ ，則 $f'(x)>0$ ；故 $\boxed{f\text{ 在 }I\text{ 上遞增}}$ 。

(c)

g'(x)=\cos x-x\sin x-\cos x=-x\sin x<0

對 $0<x<\pi/2$ 成立，故 $\boxed{g\text{ 在 }(0,\pi/2)\text{ 遞減}}$ 。

(d) 延拓後 $f(0)=1$ 。當 $x$ 充分接近 $0$ 且 $x\ne0$ 時， $\sin x/x<1$ ，故

f(x)<f(0).

所以 $\boxed{f\text{ 在 }0\text{ 有嚴格相對最大值}}$ 。