題目

Problem

Determine whether each of the following series converges. Justify your answers.

(a) (5 pts) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ .

(b) (5 pts) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n+1)}{n^2}$ .

(d) (5 pts) $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^2}{(2n)!}$ .

解答

展開

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(a) 一般項 $\bigl(1+\frac1n\bigr)^n\to e\ne0$ ，不滿足級數收斂的必要條件，故 $\boxed{\text{發散}}$ 。

(b)

\left|\frac{\sin(n+1)}{n^2}\right|\le\frac1{n^2}.

右側為收斂 $p$ -級數，故原級數 $\boxed{\text{絕對收斂}}$ 。

(c) 對充分大的 $n$ ， $\ln n\le n^{0.1}$ ，因此

0\le\frac{\ln n}{n^{1.2}}\le\frac1{n^{1.1}}.

由比較判別法，原級數 $\boxed{\text{收斂}}$ 。

(d) 令 $a_n=\dfrac{(n!)^2}{(2n)!}$ ，則

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^2}{(2n+2)(2n+1)}\longrightarrow\frac14<1.

由比值審斂法，原級數 $\boxed{\text{收斂}}$ 。