題目

Problem

Find the following integrals.

(a) (5 pts) $\displaystyle \int_0^\pi \sin(x)\,dx$ .

(b) (5 pts) $\displaystyle \int_0^1 (2x+3)^{1/2}\,dx$ .

(d) (5 pts) $\displaystyle \int_D (2x+3y)\,d(x,y)$ , where $D=\{(x,y):|x|+|y|<1\}$ .

解答

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(a)

\int_0^\pi\sin x\,\mathrm{d}x=[-\cos x]_0^\pi=\boxed2.

(b) 令 $u=2x+3$ ，則

\int_0^1(2x+3)^{1/2}\,\mathrm{d}x =\frac13\bigl[(2x+3)^{3/2}\bigr]_0^1 =\boxed{\frac{5\sqrt5-3\sqrt3}{3}}.

(c) 分部積分取 $u=\ln x$ 、 $\mathrm{d}v=x\,\mathrm{d}x$ ：

\int_0^1x\ln x\,\mathrm{d}x =\left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_0^1-\frac12\int_0^1x\,\mathrm{d}x =\boxed{-\frac14}.

(d) 區域 $D$ 對 $x$ 軸、 $y$ 軸皆對稱； $2x$ 對 $y$ 軸為奇函數， $3y$ 對 $x$ 軸為奇函數。因此

\boxed{\iint_D(2x+3y)\,\mathrm{d}A=0}.