題目

Problem

Find the following limits. Show your work.

(a) (5 pts) $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x}$ .

(b) (5 pts) $\displaystyle \lim_{h\to 0}\frac{(2+h)\cos(2+h)-2\cos(2)}{h}$ .

(d) (5 pts) $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \ln\!\left(1+\frac{2k}{n}\right)$ .

解答

展開

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(a) 因為 $|\sin x|\le1$ ，有 $\big|\sin x/x\big|\le1/x\to0$ ，故極限為 $\boxed{0}$ 。

(b) 這是 $h(x)=x\cos x$ 在 $2$ 的導數：

\boxed{h'(2)=\cos2-2\sin2}.

(c)

\int_1^x\ln t\,\mathrm{d}t=x\ln x-x+1,

而

\int_1^xt\ln t\,\mathrm{d}t=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+\frac14.

分母的成長階為 $x^2\ln x$ ，比分子的 $x\ln x$ 快，故極限為 $\boxed{0}$ 。

(d) 此為函數 $\ln(1+2x)$ 的黎曼和：

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\left(1+\frac{2k}{n}\right) =&\,\int_0^1\ln(1+2x)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{3\ln3-2}{2}}. \end{align*}