題目
Problem
- Suppose that f(x) is differentiable at x=1. Evaluate the following limit in terms of f(1) and f′(1).
a→0limlog2(1−3a)f(e2a)−f(1)=(1).
題目勘誤
官方原題：只假設 f 在 x=1 可微，要求以 f(1)、f′(1) 表示此根式極限。
實際上應為：還須假設 f(1)>0（或保證根式複合函數在 a=0 附近可微），才能唯一得到常用公式。若取 f(x)=(x−1)2，則 f(1)=f′(1)=0，但分子為 ∣e2a−1∣，兩側商的極限不同；故僅憑原題條件無法決定極限。
本頁保留官方原題，以下先說明原題條件不足；在補上 f(1)>0 的通常考試意圖下，再計算其預期答案。
解答
解法一
思路
展開
- 官方只給出 f 在 x=1 可微，尚不足以保證根式複合函數可微；先以反例確認原題不能唯一決定答案。
- 補上通常隱含的條件 f(1)>0 後，分子、分母皆趨於 0，可使用羅必達法則。
- 第一步：使用羅必達法則對自變數 a 求導：
- 分子求導：
dad(f(e2a))=2f(e2a)1⋅f′(e2a)⋅2e2a=f(e2a)f′(e2a)e2a
- 分母求導：
dad(log2(1−3a))=(1−3a)ln21⋅(−3)=−(1−3a)ln23
- 第二步：取 a→0 的極限：
lima→0−(1−3a)ln23f(e2a)f′(e2a)e2a=−ln23f(1)f′(1)=−3f(1)ln2⋅f′(1)
答題過程
展開
先說明原題條件不足。令 f(x)=(x−1)2，則 f 在 1 可微，且 f(1)=f′(1)=0；但
f(e2a)−f(1)=∣e2a−1∣.
分母在 a=0 附近與 −ln23a 成正比，因此 a→0+ 與 a→0− 時的商極限一正一負，二側極限不存在。故官方條件本身不足以給出唯一答案。
若補上 f(1)>0，根式函數在 f(1) 附近可微，原極限為 00 型。我們使用羅必達法則，對分子與分母分別關於自變數 a 求導：
a→0limlog2(1−3a)f(e2a)−f(1)=L.H.a→0limdad(log2(1−3a))dad(f(e2a))
我們分別計算導函數：
- 分子部分（使用連鎖律，注意對 e2a 求導得 2e2a）：
dad(f(e2a))=2f(e2a)1⋅f′(e2a)⋅2e2a=f(e2a)f′(e2a)e2a
* **分母部分**（利用對數換底公式 $\log_2 u = \frac{\ln u}{\ln 2}$，注意對 $1-3a$ 求導得 $-3$）：
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \log_2(1 - 3a) \right) = \frac{1}{(1 - 3a) \ln 2} \cdot (-3) = -\frac{3}{(1 - 3a) \ln 2}
將導函數結果代回極限式中：
\lim_{a \to 0} \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \sqrt{f(e^{2a})} \right)}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a} \left( \log_2(1 - 3a) \right)} = \lim_{a \to 0} \frac{\frac{f’(e^{2a}) e^{2a}}{\sqrt{f(e^{2a})}}}{-\frac{3}{(1 - 3a) \ln 2}}
在補充條件 $f(1)>0$ 下，令 $a\to0$，可得：
\frac{\frac{f’(e^0) e^0}{\sqrt{f(e^0)}}}{\frac{-3}{(1 - 0) \ln 2}} = \frac{\frac{f’(1)}{\sqrt{f(1)}}}{-\frac{3}{\ln 2}} = -\frac{\ln 2 \cdot f’(1)}{3\sqrt{f(1)}}
**結論：** 原題條件不足，極限不能只由 $f(1)$、$f'(1)$ 唯一決定。若補上 $f(1)>0$，則 (1) 處的預期答案為 $-\displaystyle \frac{\ln 2\, f'(1)}{3\sqrt{f(1)}}$。
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