題目

Problem

Let $f(x,y)=x^4+y^4-4xy+1$ . Find local maxima, local minima, and saddle points of $f(x,y)$ .

解答

展開

先解 $f_x=f_y=0$ 找臨界點，再以 Hessian 判別式 $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$ 分類。

展開

f_x=4x^3-4y,\qquad f_y=4y^3-4x.

聯立後得到臨界點

(0,0),\qquad \left(\frac2{\sqrt3},\frac2{\sqrt3}\right),\qquad \left(-\frac2{\sqrt3},-\frac2{\sqrt3}\right).

又

f_{xx}=12x^2,\qquad f_{yy}=12y^2,\qquad f_{xy}=-4,

故

D=144x^2y^2-16.

在 $(0,0)$ ， $D=-16<0$ ，所以是鞍點。在兩個非零臨界點， $D=240>0$ 且 $f_{xx}=16>0$ ，所以均為局部極小點，函數值為 $-\frac79$ 。

因此

\boxed{\text{局部極小點為 }\left(\pm\frac2{\sqrt3},\pm\frac2{\sqrt3}\right)\text{（同號）}};

\boxed{\text{鞍點為 }(0,0)\text{，沒有局部極大點}}.