題目 Problem Trochoid x=2θ−sinθx=2\theta-\sin\thetax=2θ−sinθ, y=2−cosθy=2-\cos\thetay=2−cosθ. Find the area under the curve and above the xxx-axis for 0≤θ≤2π0\le\theta\le 2\pi0≤θ≤2π. 解答 解法一 思路 展開 曲線在給定參數範圍內位於 xxx 軸上方，面積可直接用參數式積分 ∫y dx\int y\,\mathrm{d}x∫ydx。 答題過程 展開 A= ∫02πydxdθ dθ= ∫02π(2−cosθ)2 dθ= ∫02π(4−4cosθ+cos2θ) dθ= 8π+π=9π.\begin{align*} A =&\,\int_0^{2\pi}y\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\,\mathrm{d}\theta\\[2mm] =&\,\int_0^{2\pi}(2-\cos\theta)^2\,\mathrm{d}\theta\\[2mm] =&\,\int_0^{2\pi}\big(4-4\cos\theta+\cos^2\theta\big)\,\mathrm{d}\theta\\[2mm] =&\,8\pi+\pi=\boxed{9\pi}. \end{align*}A====∫02πydθdxdθ∫02π(2−cosθ)2dθ∫02π(4−4cosθ+cos2θ)dθ8π+π=9π.
