題目

Problem

Find $f'(2)$ if $f(x)=e^{g(x)}$ and $\displaystyle g(x)=\int_4^{x^2}\frac{t}{1+t^3}\,dt$ .

解答

展開

先由積分上下限相同得 $g(2)=0$ ；再以微積分基本定理配合連鎖規則求 $g'(2)$ 。

展開

因為 $2^2=4$ ，

g(2)=\int_4^4\frac{t}{1+t^3}\,\mathrm{d}t=0.

由微積分基本定理與連鎖規則，

g'(x)=\frac{x^2}{1+x^6}\cdot2x=\frac{2x^3}{1+x^6},

所以 $g'(2)=\frac{16}{65}$ 。又 $f'(x)=e^{g(x)}g'(x)$ ，故

\boxed{f'(2)=e^{g(2)}g'(2)=\frac{16}{65}}.