題目 Problem 不得使用計算機，每題 10 分，總分 100 分。 limx→∞2x−11x=?\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt[x]{2}-1}{\frac{1}{x}}=?x→∞limx1x2−1=? 解答 解法一 思路 展開 以 u=1/xu=1/xu=1/x 轉換成 u→0+u\to0^+u→0+ 的基本指數極限，再以羅必達法則求值。 答題過程 展開 令 u=1xu=\frac1xu=x1，則 u→0+u\to0^+u→0+，原極限變為 limu→0+2u−1u.\lim_{u\to0^+}\frac{2^u-1}{u}.u→0+limu2u−1. 這是 0/00/00/0 型，故 limu→0+2u−1u=limu→0+2uln21=ln2.\lim_{u\to0^+}\frac{2^u-1}{u} =\lim_{u\to0^+}\frac{2^u\ln2}{1} =\boxed{\ln2}.u→0+limu2u−1=u→0+lim12uln2=ln2.
