題目 9. y=f(x), y′=2y(10−y), f(0)=1, f(x)=?y=f(x),\ y'=2y(10-y),\ f(0)=1,\ f(x)=?y=f(x), y′=2y(10−y), f(0)=1, f(x)=? 解答 解法一 思路 展開 右邊可分解為 2y(10−y)2y(10-y)2y(10−y)，是具有兩個平衡解的可分離變數方程。分離變數後用初始條件決定常數。 答題過程 展開 dyy(10−y)=2 dx.\frac{\mathrm{d}y}{y(10-y)}=2\,\mathrm{d}x.y(10−y)dy=2dx. 部分分式分解後積分： 110lny10−y= 2x+C,y10−y= Ce20x.\begin{align*} \frac1{10}\ln\frac{y}{10-y} =&\,2x+C,\\[4mm] \frac{y}{10-y} =&\,Ce^{20x}. \end{align*}101ln10−yy=10−yy=2x+C,Ce20x. 由 y(0)=1y(0)=1y(0)=1 得 C=19C=\frac19C=91，故 y10−y=19e20x.\frac{y}{10-y}=\frac19e^{20x}.10−yy=91e20x. 解出 yyy： f(x)=101+9e−20x.\boxed{f(x)=\frac{10}{1+9e^{-20x}}}.f(x)=1+9e−20x10.
