題目

\lim_{x\to 0}(\sin x)^{(\cos x-1)}=?

題目勘誤

官方原題： $\displaystyle\lim_{x\to0}(\sin x)^{\cos x-1}$ ，未指定單側極限。

實際上應為：在實數範圍， $x<0$ 且接近 $0$ 時有 $\sin x<0$ ，而非整數實數冪 $(\sin x)^{\cos x-1}$ 一般沒有實數意義，因此兩側極限不能按實函數定義成立。若改為 $x\to0^+$ （或把底數改為 $|\sin x|$ ），極限才是 $1$ 。

本頁保留官方原題，並分別說明原題與右極限的結果，未替換原題條件。

解答

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先檢查冪函數在實數範圍是否有定義。原題的左側沒有定義域；若按常見命題意圖改看右極限，才可取對數計算。

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當 $x<0$ 且充分接近 $0$ 時， $\sin x<0$ 。但指數 $\cos x-1$ 通常不是整數，所以 $(\sin x)^{\cos x-1}$ 並非實數函數。故依原題所寫的雙側極限，答案是

\boxed{\text{不存在（左側在實數範圍無定義）}}.

若題目原意是右極限 $x\to0^+$ ，令

y=(\sin x)^{\cos x-1}.

此時 $\sin x>0$ ，可取對數：

\ln y=(\cos x-1)\ln(\sin x).

又 $\cos x-1\sim-\frac{x^2}{2}$ ，而 $\ln(\sin x)\sim\ln x$ ，所以

\lim_{x\to0^+}(\cos x-1)\ln(\sin x)=0.

因此右極限為 $\exp(0)=\boxed{1}$ 。