題目 4. f(x)=(sinx)cosxf(x)=(\sin x)^{\cos x}f(x)=(sinx)cosx f′(x)=?f'(x)=?f′(x)=? 解答 解法一 思路 展開 底數、指數都含有 xxx，適合先取自然對數，把冪次轉為乘積後再微分。 答題過程 展開 在函數有實數意義的區間內，sinx>0\sin x>0sinx>0。取對數得 lnf(x)=cosxln(sinx).\ln f(x)=\cos x\ln(\sin x).lnf(x)=cosxln(sinx). 兩邊求導： f′(x)f(x)=−sinxln(sinx)+cosx⋅cosxsinx.\frac{f'(x)}{f(x)} =-\sin x\ln(\sin x)+\cos x\cdot\frac{\cos x}{\sin x}.f(x)f′(x)=−sinxln(sinx)+cosx⋅sinxcosx. 乘回 f(x)=(sinx)cosxf(x)=(\sin x)^{\cos x}f(x)=(sinx)cosx，可得 f′(x)=(sinx)cosx(−sinxln(sinx)+cos2xsinx).\boxed{ f'(x)=(\sin x)^{\cos x} \Big(-\sin x\ln(\sin x)+\frac{\cos^2x}{\sin x}\Big) }.f′(x)=(sinx)cosx(−sinxln(sinx)+sinxcos2x).
