微積分福音

108 台灣大學微積分(B) 第 6 題

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108學年度 · 108台大微積分B · 第 6 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

Work need not be shown, only answers will be graded.
4 points for each blank and 100 points total.
Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.
Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

The integral $\displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{(\tan^{-1}x)^4}{x^a}\,dx$ converges if and only if $a$ is in the interval $\underline{\quad(9)\quad}$ .

解答

解法一

思路

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瑕積分必須分別檢查 $0$ 與無窮遠兩個端點的收斂條件。

答題過程

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在 $x\to0$ 時， $\tan^{-1}x\sim x$ ，被積函數近似為 $x^{4-a}$ ；故 $0$ 附近收斂要求 $4-a>-1$ ，即 $a<5$ 。

在 $x\to\infty$ 時， $\tan^{-1}x\to\pi/2$ ，被積函數與 $x^{-a}$ 同階；故無窮遠處收斂要求 $a>1$ 。

綜合得 $\boxed{1<a<5}$ 。