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108 台灣大學微積分(B) 第 12 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

108學年度 · 108台大微積分B · 第 12 題

題目

Problem

PART 1: Fill in the blanks.

  • Work need not be shown, only answers will be graded.

  • 4 points for each blank and 100 points total.

  • Each answer need to be clearly labeled on the answer sheet.

  • Use of any device with computer algebra system during the exam will result in zero points.

  1. The 3rd nonzero term of the Mclaurin series of the function
f(x)={csc⁡x−cot⁡x,x≠00,x=0f(x)= \begin{cases} \csc x-\cot x, & x\ne 0 \\ 0, & x=0 \end{cases}

is (16)‾\underline{\quad(16)\quad}.

解答

解法一

思路

展開

先用恆等式化成熟悉的正切函數,再讀取其級數的第三個非零項。

答題過程

展開

利用恆等式 csc⁡x−cot⁡x=tan⁡x2\csc x-\cot x=\tan\frac{x}{2},以及

tan⁡x2=x2+x324+x5240+⋯ .\tan\frac{x}{2}=\frac{x}{2}+\frac{x^3}{24}+\frac{x^5}{240}+\cdots.

故第三個非零項是 x5240\boxed{\frac{x^5}{240}}。