題目

7. When

f(x,y)=2xy-\dfrac{1}{2}(x^4+y^4)+1

, find local maxima, local minima, and saddle points.

解答

展開

先由兩個一階偏導數找臨界點，再以 Hessian 判別式 $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$ 分辨極大、極小與鞍點。

展開

一階偏導數為

f_x=2(y-x^3),\qquad f_y=2(x-y^3).

故臨界點滿足 $y=x^3$ 、 $x=y^3$ ，亦即 $x=x^9$ 。可得

(x,y)=(0,0),(1,1),(-1,-1).

二階偏導數與判別式為

f_{xx}=-6x^2,\qquad f_{yy}=-6y^2,\qquad f_{xy}=2,

D=36x^2y^2-4.

在 $(0,0)$ ， $D=-4<0$ ，故為鞍點，且 $f(0,0)=1$ 。在 $(1,1)$ 與 $(-1,-1)$ ， $D=32>0$ 且 $f_{xx}<0$ ，故兩者皆為局部極大點；其函數值均為

f(1,1)=f(-1,-1)=\boxed{2}.

因此局部極大點為 $(1,1)$ 、 $(-1,-1)$ ；沒有局部極小點；鞍點為 $(0,0)$ 。