CalcGospel 微積分福音
返回

107 台灣大學微積分(C) 第 4 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分C

107學年度 · 107台大微積分C · 第 4 題

題目

4. When x=2sin⁡θ−sin⁡2θx=2\sin\theta-\sin2\theta and y=2cos⁡θ−cos⁡2θy=2\cos\theta-\cos2\theta, determine d2ydx2\dfrac{d^2y}{dx^2} at θ=π/3\theta=\pi/3.

解答

解法一

思路

展開

對參數曲線，二階導數要先求 dydx=y′/x′\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y'/x'，再以 ddx=1x′ddθ\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}=\frac1{x'}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta} 再微分一次。

答題過程

展開

沿用題目的參數式，有

x′=2cos⁡θ−2cos⁡2θ,y′=−2sin⁡θ+2sin⁡2θ,x'=2\cos\theta-2\cos2\theta,\qquad y'=-2\sin\theta+2\sin2\theta,

以及

x′′=−2sin⁡θ+4sin⁡2θ,y′′=−2cos⁡θ+4cos⁡2θ.x''=-2\sin\theta+4\sin2\theta,\qquad y''=-2\cos\theta+4\cos2\theta.

故

d2ydx2=x′y′′−y′x′′(x′)3.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} =\frac{x'y''-y'x''}{(x')^3}.

在 θ=π3\theta=\frac\pi3 時，x′=2x'=2、y′=0y'=0、y′′=−3y''=-3，所以

d2ydx2=2(−3)−0⋅323=−34.\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} =\frac{2(-3)-0\cdot\sqrt3}{2^3} =\boxed{-\frac34}.