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107 台灣大學微積分(B) 第 9 題

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107學年度 · 107台大微積分B · 第 9 題

題目

Problem

Part II Fill in the blanks

  1. ∫011(x2+1)2 dx=(10)‾\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{(x^2+1)^2}\,dx=\underline{\quad(10)\quad}.

解答

解法一

思路

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把分母拆成一個容易微分得到的部分與反正切導數部分，即可直接積分。

答題過程

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利用

1(x2+1)2=12(1x2+1+1−x2(x2+1)2),\frac1{(x^2+1)^2}=\frac12\left(\frac1{x^2+1}+\frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}\right),

可得原函數

∫1(x2+1)2 dx=12arctan⁡x+x2(x2+1)+C.\int\frac1{(x^2+1)^2}\,\mathrm{d}x =\frac12\arctan x+\frac{x}{2(x^2+1)}+C.

所以

∫011(x2+1)2 dx=[12arctan⁡x+x2(x2+1)]01=π8+14.\int_0^1\frac1{(x^2+1)^2}\,\mathrm{d}x =\left[\frac12\arctan x+\frac{x}{2(x^2+1)}\right]_0^1 =\boxed{\frac\pi8+\frac14}.