微積分福音

107 台灣大學微積分(B) 第 7 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

107學年度 · 107台大微積分B · 第 7 題

題目

Problem

Part II Fill in the blanks

Let $f(x)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}+2\sin x}\sin\bigl(y+x\cos y\bigr)\,dy$ . It follows that $f'(0)=\underline{\quad(7)\quad}$ .

解答

解法一

思路

展開

積分上限與被積函數都含 $x$ ，因此以萊布尼茲公式同時處理上限變動與積分內的偏微分。

答題過程

展開

設 $u(x)=\frac\pi2+2\sin x$ 。依萊布尼茲公式，

f'(x)=\sin\bigl(u(x)+x\cos u(x)\bigr)u'(x) +\int_0^{u(x)}\cos\bigl(y+x\cos y\bigr)\cos y\,\mathrm{d}y.

代入 $x=0$ 時， $u(0)=\frac\pi2$ 、 $u'(0)=2$ ，所以

\begin{align*} f'(0) =&\,2\sin\frac\pi2+\int_0^{\pi/2}\cos^2y\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,2+\frac\pi4. \end{align*}

故答案為 $\boxed{2+\frac\pi4}$ 。