題目

Problem

Part I Multiple Choice

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\sin y^2}{1-e^{x^2+y^4}}, & \text{if }(x,y)\ne(0,0), \\ 0, & \text{if }(x,y)=(0,0). \end{cases}

(a) $\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} f(x,y)=0$ .

(b) $\lim_{x\to 0}\lim_{y\to 0} f(x,y)=\lim_{y\to 0}\lim_{x\to 0} f(x,y)$ .

Among the above three statements, how many of them are true?

A) Only one.

B) Only two.

C) All of them.

D) None of them.

解答

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先固定其中一個變數求兩個反覆極限；再沿著特別路徑檢查二變數極限，不能由反覆極限存在就直接斷言二變數極限存在。

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固定 $x\ne0$ 時，令 $y\to0$ ，分子趨於 $0$ 而分母趨於 $1-e^{x^2}\ne0$ ，故內層極限為 $0$ 。再令 $x\to0$ 仍得 $0$ 。同理，固定 $y\ne0$ 後令 $x\to0$ 也得 $0$ ，所以 (a)、(b) 都正確。

但是沿路徑 $x=y^2$ ，有

f(y^2,y)=\frac{y^2\sin y^2}{1-e^{2y^4}} \longrightarrow-\frac12,

其中使用 $\sin y^2\sim y^2$ 與 $1-e^{2y^4}\sim-2y^4$ 。這與沿 $x=0$ 的值 $0$ 不同，故二變數極限不存在，(c) 不正確。

故恰有兩句正確，選 B。