題目

Problem

Part II Fill in the blanks

Let $E$ be a tetrahedron（四面體）in $\mathbb{R}^3$ bounded by the planes $x+y+z=3$ , $x=2z$ , $y=0$ and $z=0$ . Let also $\mathbf{F}:=(x-y)\mathbf{i}+(y^2+z^2)\mathbf{j}+e^{x^3}\mathbf{k}$ .

(a) $\operatorname{curl}\mathbf{F}=\underline{\quad(18)\quad}$ .

(b) If $S_1$ is the boundary surface of $E$ (including all faces) endowed with the outward orientation, one has $\iint_{S_1}\operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\underline{\quad(19)\quad}$ .

(c) If $S_2$ is the surface obtained from $S_1$ by removing the face in the $xy$ -plane while keeping the orientation from $S_1$ on all other faces, one then has $\iint_{S_2}\operatorname{curl}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{S}=\underline{\quad(20)\quad}$ .

解答

解法一

思路

展開

先直接計算旋度。封閉曲面的旋度通量由散度定理為零；移除一面後，便以「其餘面的通量 = 封閉曲面通量減被移除面的通量」求值。

答題過程

展開

寫成分量 $\mathbf F=(P,Q,R)$ ，其中

P=x-y,\qquad Q=y^2+z^2,\qquad R=e^{x^3}.

因此

\begin{align*} \operatorname{curl}\mathbf F =&\,\left(R_y-Q_z,\,P_z-R_x,\,Q_x-P_y\right)\\[4mm] =&\,\left(-2z,\,-3x^2e^{x^3},\,1\right). \end{align*}

故第 (18) 空為 $\boxed{(-2z,-3x^2e^{x^3},1)}$ 。

因為 $S_1$ 是四面體的封閉邊界，且

\nabla\cdot(\operatorname{curl}\mathbf F)=0,

由散度定理得

\iint_{S_1}\operatorname{curl}\mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf S=\boxed{0}.

現在移除 $xy$ 平面（即 $z=0$ ）上的面。此面在 $xy$ 平面的投影是三角形

x\ge0,\qquad y\ge0,\qquad x+y\le3,

面積為 $\frac92$ ；該面的外法向量為 $-\mathbf k$ 。故被移除面的通量為

\iint_{z=0}\operatorname{curl}\mathbf F\cdot(-\mathbf k)\,\mathrm{d}A =\int\!\!\int(-1)\,\mathrm{d}A=-\frac92.

所以保留的 $S_2$ 通量為

\iint_{S_2}\operatorname{curl}\mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf S =0-\left(-\frac92\right)=\boxed{\frac92}.

故第 (19)、(20) 空依序為 $\boxed{0}$ 、 $\boxed{\frac92}$ 。

107 台灣大學微積分(B) 第 14 題

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解答

解法一

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