題目

Problem

Part II Fill in the blanks

If $a$ and $b$ are positive constants and if $\max\{p,q\}$ denotes the maximum between the numbers $p$ and $q$ , the iterated integral

\int_{0}^{a}\int_{0}^{b} e^{\max\{b^2x^2,a^2y^2\}}\,dy\,dx=\underline{\quad(17)\quad}.

解答

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指數中的兩項經縮放後會變成同一型式。令 $u=bx$ 、 $v=ay$ ，把長方形化為正方形，再依 $u\ge v$ 與 $v\ge u$ 的兩個對稱三角形積分。

展開

令

u=bx,\qquad v=ay.

則 $0\le u,v\le ab$ ，且 $\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x=\frac1{ab}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u$ 。所以原積分為

\frac1{ab}\int_0^{ab}\int_0^{ab}e^{\max\{u^2,v^2\}}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u.

在正方形中， $u\ge v$ 與 $v\ge u$ 兩半完全對稱。因此

\begin{align*} \frac2{ab}\int_0^{ab}\int_0^u e^{u^2}\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u =&\,\frac2{ab}\int_0^{ab}u e^{u^2}\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\frac1{ab}\left[e^{u^2}\right]_0^{ab}. \end{align*}

故第 (17) 空為

\boxed{\frac{e^{a^2b^2}-1}{ab}}.