題目

Problem

Part II Fill in the blanks

Let $C$ be a variable path in the $xy$ -plane of arc-length $1$ starting at the point $(\sqrt{3},1)$ and ending at the point $(a,b)$ . Suppose that $G(a,b):=\int_C \nabla f\cdot d\mathbf{r}$ , where $f(x,y):=\arctan\frac{y}{x}$ is a function in $a$ and $b$ . Then, $G$ attains its maximum at $a=\underline{\quad(14)\quad}$ and $b=\underline{\quad(15)\quad}$ , and the maximum value of $G$ is $\underline{\quad(16)\quad}$ .

解答

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被積函數是梯度場，線積分只看起點與終點。終點落在以起點為圓心、半徑 $1$ 的圓上，因此改為在該圓上使極角最大。

展開

因為 $\nabla f$ 是保守向量場，

G(a,b)=f(a,b)-f(\sqrt3,1) =\arctan\frac ba-\frac\pi6.

而路徑長為 $1$ ，故終點必滿足

(a-\sqrt3)^2+(b-1)^2\le1.

要使 $\arctan(b/a)$ 最大，就是從原點作一條與此圓相切、且位於起點上方的射線。起點距原點為 $2$ ，圓半徑為 $1$ ；切線所對的角為 $\arcsin(1/2)=\frac\pi6$ 。原起點的極角是 $\frac\pi6$ ，故最大極角為 $\frac\pi3$ 。

切點到原點距離為 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ ，因此

(a,b)=\sqrt3\left(\cos\frac\pi3,\sin\frac\pi3\right) =\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac32\right).

最大值為

G_{\max}=\frac\pi3-\frac\pi6=\boxed{\frac\pi6}.

所以第 (14)、(15)、(16) 空依序為

\boxed{\frac{\sqrt3}{2}},\qquad\boxed{\frac32},\qquad\boxed{\frac\pi6}.