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106 台灣大學微積分(C) 第 8 題

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106學年度 · 106台大微積分C · 第 8 題

題目

Problem

  1. When 2x2−4xy+5y2=12x^2-4xy+5y^2=1, f(x,y)=x2+y2f(x,y)=x^2+y^2, determine the maximum value and minimum value of f(x,y)f(x,y). (10%)(10\%)

解答

解法一

思路

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  • 將限制式視為正定二次型；在其等值橢圓上，x2+y2x^2+y^2 的極值由矩陣特徵值決定。

答題過程

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限制式寫為

[xy][2−2−25][xy]=1.\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&-2\\-2&5\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=1.

矩陣的特徵值由

det⁡[2−λ−2−25−λ]=λ2−7λ+6=0\det\begin{bmatrix}2-\lambda&-2\\-2&5-\lambda\end{bmatrix} =\lambda^2-7\lambda+6=0

得 λ=1,6\lambda=1,6。沿單位特徵向量，限制式為 λ(x2+y2)=1\lambda(x^2+y^2)=1，故

x2+y2=1λ.x^2+y^2=\frac1\lambda.

因此最大值為 1\boxed{1}，最小值為 16\boxed{\frac16}。