題目 Problem It is known that 2x3+y3=5xy2x^3+y^3=5xy2x3+y3=5xy. Determine the value of dy/dx\mathrm{d}y/\mathrm{d}xdy/dx when (x,y)=(1,2)(x,y)=(1,2)(x,y)=(1,2). (10%)(10\%)(10%) 解答 解法一 思路 展開 x,yx,yx,y 由隱式方程連結，對兩邊微分後再代入指定點。 答題過程 展開 對 2x3+y3=5xy2x^3+y^3=5xy2x3+y3=5xy 微分： 6x2+3y2dydx= 5y+5xdydx.\begin{align*} 6x^2+3y^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,5y+5x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. \end{align*}6x2+3y2dxdy=5y+5xdxdy. 在 (1,2)(1,2)(1,2) 代入： 6+12dydx= 10+5dydx,\begin{align*} 6+12\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,10+5\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}, \end{align*}6+12dxdy=10+5dxdy, 所以 7dydx=47\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=47dxdy=4，答案為 47\boxed{\frac47}74。
