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106 台灣大學微積分(B) 第 6 題

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106學年度 · 106台大微積分B · 第 6 題

題目

Problem

Part I Multiple Choice

  1. The enclosed area of the curve (x2+y2)2=x2−y2(x^2+y^2)^2=x^2-y^2 can be written in the integral form as

(A) 2∫0π/4cos⁡2θ dθ2\int_0^{\pi/4}\cos2\theta\,\mathrm{d}\theta.

(B) 4∫0π/4cos⁡2θ dθ4\int_0^{\pi/4}\cos2\theta\,\mathrm{d}\theta.

(C) 2∫0π/4cos⁡2θ dθ2\int_0^{\pi/4}\sqrt{\cos2\theta}\,\mathrm{d}\theta.

(D) 12∫0π/4cos⁡2θ dθ\dfrac{1}{2}\int_0^{\pi/4}\cos2\theta\,\mathrm{d}\theta.

解答

解法一

思路

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  • 先把曲線改寫為極座標方程，辨認 r2≥0r^2\ge0 的角度範圍。
  • 一瓣面積由 12∫r2 dθ\frac12\int r^2\,\mathrm{d}\theta 給出，再利用曲線的左右對稱性求總面積。

答題過程

展開

代入 x=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\theta 後，

r4=r2(cos⁡2θ−sin⁡2θ)=r2cos⁡2θ.r^4=r^2\big(\cos^2\theta-\sin^2\theta\big)=r^2\cos2\theta.

除原點外，曲線滿足 r2=cos⁡2θr^2=\cos2\theta。右側一瓣對應 −π/4≤θ≤π/4-\pi/4\le\theta\le\pi/4，其面積為

12∫−π/4π/4cos⁡2θ dθ.\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos2\theta\,\mathrm{d}\theta.

曲線另有完全對稱的一瓣，故總面積為

2\cdot\frac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos2\theta\,\mathrm{d}\theta =&\,2\int_0^{\pi/4}\cos2\theta\,\mathrm{d}\theta.

因此正確選項為 A\boxed{\text{A}}。