題目

Problem

Part I Multiple Choice

(A) $f(x)$ does not have any horizontal asymptotes and any vertical asymptotes.

(B) $f(x)$ has a horizontal asymptote, but $f(x)$ does not have any vertical asymptotes.

(D) $f(x)$ has a horizontal asymptote and a vertical asymptote.

解答

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當 $x\to\pm\infty$ 時， $e^{-x^2}\to0$ ，所以

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1+e^{-x^2}}{1-e^{-x^2}}=1.

故 $y=1$ 是水平漸近線。

另一方面， $e^{-x^2}=1$ 只在 $x=0$ 發生。此時分子趨近 $2$ ，分母 $1-e^{-x^2}$ 趨近 $0^+$ ，故

\lim_{x\to0}f(x)=+\infty.

因此 $x=0$ 是垂直漸近線，正確選項為 $\boxed{\text{D}}$ 。