微積分福音

106 台灣大學微積分(B) 第 11 題

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106學年度 · 106台大微積分B · 第 11 題

題目

Problem

Part II Answer the following questions

Suppose that $a$ , $b$ and $c$ are constants and $\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{ax^2+bx+c}+3x\right)=2$ , then $(a,b)=\underline{\quad(11)\quad}$ .

解答

解法一

思路

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因 $x\to-\infty$ ，根式的主項要和 $3x$ 相消，先由此決定 $a$ 。
再以共軛有理化，把「兩個很大的量相加」轉為可直接取極限的比值。

答題過程

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當 $x<0$ 時， $\sqrt{ax^2}\sim\sqrt a\,|x|=-\sqrt a\,x$ 。為使它和 $3x$ 的一次主項相消，必須有

\sqrt a=3, \qquad a=9.

代回後有理化：

\begin{align*} &\,\sqrt{9x^2+bx+c}+3x \\ =&\,\frac{(9x^2+bx+c)-9x^2} {\sqrt{9x^2+bx+c}-3x} \\ =&\,\frac{bx+c}{\sqrt{9x^2+bx+c}-3x}. \end{align*}

分子、分母同除以 $x$ 。由 $x<0$ 可得 $\sqrt{9x^2+bx+c}/x\to-3$ ，故極限為

\frac{b}{-3-3}=-\frac b6=2.

所以 $b=-12$ ，填入

\boxed{(a,b)=(9,-12)}.