題目

Problem

Part I Multiple Choice

(A) $2^{3^2}=8^2=64$ .

(B) $\tan^{-1}(\tan \pi)=\pi$ .

(D) $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n<3$ for all $n\in\mathbb{N}$ .

解答

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先注意指數的運算順序：

2^{3^2}=2^9=512,

所以 (A) 錯誤。又反正切函數取主值於 $(-\pi/2,\pi/2)$ ，故

\tan^{-1}(\tan\pi)=\tan^{-1}(0)=0,

(B) 也錯誤。

令 $f(x)=-x$ ，則 $f(f(x))=x$ ，亦即 $f=f^{-1}$ ，但 $f(x)$ 並不等於 $x$ ；故 (C) 錯誤。

最後，對每個正整數 $n$ ，

\left(1+\frac1n\right)^n<e<3.

因此正確選項為 $\boxed{\text{D}}$ 。