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105 台灣大學微積分(C) 第 3 題

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105學年度 · 105台大微積分C · 第 3 題

題目

3. (10%)(10\%) Compute the indefinite integral ∫dx(x2−1)(x+1)=(5)‾\int \dfrac{\mathrm{d}x}{(x^2-1)(x+1)}=\underline{\quad(5)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • 先將分母分解成 (x−1)(x+1)2(x-1)(x+1)^2。
  • 有重根 (x+1)2(x+1)^2，部分分式中必須同時保留 Bx+1\frac{B}{x+1} 與 C(x+1)2\frac{C}{(x+1)^2}。

答題過程

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將被積分函數拆成部分分式：

1(x2−1)(x+1)=1(x−1)(x+1)2=Ax−1+Bx+1+C(x+1)2.\frac{1}{(x^2-1)(x+1)} =\frac{1}{(x-1)(x+1)^2} =\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}.

兩邊乘以 (x−1)(x+1)2(x-1)(x+1)^2，有

1=A(x+1)2+B(x−1)(x+1)+C(x−1).1=A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1).

令 x=1x=1、x=−1x=-1，依序得到 A=14A=\frac14、C=−12C=-\frac12；再比較 x2x^2 項可得 B=−14B=-\frac14。因此

∫dx(x2−1)(x+1)= ∫(14(x−1)−14(x+1)−12(x+1)2) dx= 14ln⁡∣x−1∣−14ln⁡∣x+1∣+12(x+1)+C.\begin{align*} \int\frac{\mathrm{d}x}{(x^2-1)(x+1)} =&\,\int\left(\frac{1}{4(x-1)}-\frac{1}{4(x+1)}-\frac{1}{2(x+1)^2}\right)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\frac14\ln|x-1|-\frac14\ln|x+1|+\frac{1}{2(x+1)}+C. \end{align*}

故答案為

14ln⁡∣x−1x+1∣+12(x+1)+C.\boxed{\frac14\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+\frac{1}{2(x+1)}+C}.