題目 Problem (O) Evaluate ∭Ωcosx2+y2+z2x2+y2+z2 dxdydz\iiint_\Omega \dfrac{\cos\sqrt{x^2+y^2+z^2}}{x^2+y^2+z^2}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\mathrm{d}z∭Ωx2+y2+z2cosx2+y2+z2dxdydz, where Ω={(x,y,z):1≤x2+y2+z2≤2}\Omega=\{(x,y,z):1\le x^2+y^2+z^2\le 2\}Ω={(x,y,z):1≤x2+y2+z2≤2}. Answer: (16)‾\underline{\quad(16)\quad}(16). 解答 解法一 思路 展開 被積函數和區域皆只依賴到原點的距離，改用球坐標。 答題過程 展開 球坐標下 1≤ρ≤21\le\rho\le\sqrt21≤ρ≤2，分母與 Jacobian 的 ρ2\rho^2ρ2 相消： ∭Ωcosρρ2 dV=4π∫12cosρ dρ=4π(sin2−sin1).\iiint_\Omega\frac{\cos\rho}{\rho^2}\,\mathrm{d}V=4\pi\int_1^{\sqrt2}\cos\rho\,\mathrm{d}\rho=\boxed{4\pi(\sin\sqrt2-\sin1)}.∭Ωρ2cosρdV=4π∫12cosρdρ=4π(sin2−sin1).
