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105 台灣大學微積分(B) 第 12 題

考題 / 轉學考微積分 / 台灣大學 / 微積分B

105學年度 · 105台大微積分B · 第 12 題

題目

Problem

(L) Find the minimum of x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 for (x,y,z)(x,y,z) on the intersection curve of the two surfaces y+2z=1y+2z=1 and 3x2+y2−z2=13x^2+y^2-z^2=1. Answer: (13)‾\underline{\quad(13)\quad}.

解答

解法一

思路

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  • 利用平面限制消去 yy，再由二次曲面消去 x2x^2，化成單變數最小化。

答題過程

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由 y=1−2zy=1-2z 與另一條限制式得 x2=4z−3z23x^2=\frac{4z-3z^2}{3}，其中 0≤z≤430\le z\le\frac43。故

x2+y2+z2=1−83z+4z2.x^2+y^2+z^2=1-\frac83z+4z^2.

此二次式在 z=13z=\frac13 最小，故最小值為 59\boxed{\frac59}。