題目

10. (18%) （本大題請標出底下各小題的編號）

f(x)=\int_0^x \dfrac{t}{t^2+t+1}\,\mathrm{d}t

，回答下列問題，並作圖：

(A) (6%) 此函數圖形遞減凹向下（concave down）的範圍在 **__**。

(B) (6%) 此函數圖形是否有漸近線？若有，請寫出漸近線方程式：**__**。

解答

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由微積分基本定理，

f'(x)=\frac{x}{x^2+x+1}.

因為 $x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0$ ，所以 $f'(x)$ 的正負與 $x$ 相同： $f$ 在 $(-\infty,0)$ 遞減，在 $(0,\infty)$ 遞增，且 $f(0)=0$ 是極小值。

再微分得

f''(x)=\frac{1-x^2}{(x^2+x+1)^2}.

(A) 要同時遞減且凹向下，故需 $x<0$ 且 $1-x^2<0$ ，範圍是

\boxed{(-\infty,-1)}.

(B) 分母永遠不為零，沒有垂直漸近線。又因被積函數在絕對值很大時近似 $1/t$ ，故 $f(x)$ 在 $x\to\pm\infty$ 時都會趨向 $+\infty$ ；因此沒有水平漸近線，也沒有斜漸近線。

(C) 略圖應通過 $(0,0)$ ，左側遞減、右側遞增；在 $x=\pm1$ 處為反曲點，凹向下的區間為 $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ ，凹向上的區間為 $(-1,1)$ 。兩端皆向上延伸。