題目 Problem 一、填充題 計算 r=1+sinθr=1+\sin\thetar=1+sinθ 所圍成區域的面積 =(7a)‾=\underline{\quad(7a)\quad}=(7a)（4 分），並計算二重積分 ∬B(a)dA1+x2+y2=(7b)‾\iint_{B(a)}\frac{\mathrm{d}A}{\sqrt{1+x^2+y^2}}=\underline{\quad(7b)\quad}∬B(a)1+x2+y2dA=(7b) （4 分），此處 B(a)={(x,y):0≤x2+y2≤a2}⊂R2B(a)=\{(x,y):0\le x^2+y^2\le a^2\}\subset\mathbb{R}^2B(a)={(x,y):0≤x2+y2≤a2}⊂R2，a>0a>0a>0。 解答 解法一 思路 兩小題都適合極座標：心臟線面積用 12∫r2 dθ\frac12\int r^2\,\mathrm{d}\theta21∫r2dθ，圓盤積分用 dA=r dr dθ\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\thetadA=rdrdθ。 答題過程 展開 (a)12∫02π(1+sinθ)2 dθ=3π2.\text{(a)}\quad \frac12\int_0^{2\pi}(1+\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta=\boxed{\frac{3\pi}{2}}.(a)21∫02π(1+sinθ)2dθ=23π. (b)∬B(a)dA1+x2+y2= 2π∫0ar1+r2 dr= 2π(1+a2−1).\begin{align*} \text{(b)}\quad \iint_{B(a)}\frac{\mathrm{d}A}{\sqrt{1+x^2+y^2}} =&\,2\pi\int_0^a\frac r{\sqrt{1+r^2}}\,\mathrm{d}r\\[4mm] =&\,\boxed{2\pi\big(\sqrt{1+a^2}-1\big)}. \end{align*}(b)∬B(a)1+x2+y2dA==2π∫0a1+r2rdr2π(1+a2−1).
