題目 Problem （壹）填充題 曲面 z=xyz=xyz=xy 在柱面 x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1 之內的曲面面積為 (9)‾\underline{\quad(9)\quad}(9)。 解答 解法一 答題過程 展開 對 z=xyz=xyz=xy，曲面面積元素為 1+x2+y2 dA\sqrt{1+x^2+y^2}\,\mathrm{d}A1+x2+y2dA。柱面內的投影是單位圓盤，改用極座標： A=2π∫01r1+r2 dr=2π3(22−1).\begin{align*} A&=2\pi\int_0^1r\sqrt{1+r^2}\,\mathrm{d}r\\[4mm] &=\boxed{\frac{2\pi}{3}(2\sqrt2-1)}. \end{align*}A=2π∫01r1+r2dr=32π(22−1).
