題目 Problem （壹）填充題 積分 ∫π/4π/2cos6xsin4x dx=(6)‾\displaystyle\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{\cos^6 x}{\sin^4 x}\,\mathrm{d}x=\underline{\quad(6)\quad}∫π/4π/2sin4xcos6xdx=(6)。 解答 解法一 答題過程 展開 令 t=cotxt=\cot xt=cotx，則積分化為 ∫01t6(1+t2)2 dt=∫01(t2−2+31+t2−1(1+t2)2) dt.\int_0^1\frac{t^6}{(1+t^2)^2}\,\mathrm{d}t =\int_0^1\left(t^2-2+\frac3{1+t^2}-\frac1{(1+t^2)^2}\right)\,\mathrm{d}t.∫01(1+t2)2t6dt=∫01(t2−2+1+t23−(1+t2)21)dt. 利用 ∫01dt(1+t2)2=14+π8\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)^2}=\frac14+\frac\pi8∫01(1+t2)2dt=41+8π，所得值為 5π8−2312.\boxed{\frac{5\pi}{8}-\frac{23}{12}}.85π−1223.
