題目

Problem

（壹）填充題

\int_a^b (x^4-10x^2+9)\,\mathrm{d}x

在 $a=\underline{\quad(5a)\quad}$ ， $b=\underline{\quad(5b)\quad}$ 時，其積分值最小。

解答

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把定積分看成原函數的差；要使差最小，找前端可取的最高原函數值與後端可取的最低值。

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令

F(x)=\frac{x^5}{5}-\frac{10x^3}{3}+9x,

則 $F'(x)=(x^2-1)(x^2-9)$ 。其符號顯示 $F$ 在 $x=-3,1$ 為極大點，在 $x=-1,3$ 為極小點。比較可行的端點組合後，最小差取在

a=-3,\qquad b=3.

此時

F(3)-F(-3)=-\frac{144}{5},

確為最小值。故 $\boxed{a=-3}$ 、 $\boxed{b=3}$ 。