題目 Problem （壹）填充題 函數 f(x)=4x2+5x+14x3+4x2+xf(x)=\frac{4x^2+5x+1}{4x^3+4x^2+x}f(x)=4x3+4x2+x4x2+5x+1 的 nnn-階導函數為 (4)‾\underline{\quad(4)\quad}(4)。 解答 解法一 思路 展開 先拆成容易反覆微分的 x−1x^{-1}x−1 與 (2x+1)−2(2x+1)^{-2}(2x+1)−2。 答題過程 展開 部分分式分解為 f(x)=1x+1(2x+1)2.f(x)=\frac1x+\frac1{(2x+1)^2}.f(x)=x1+(2x+1)21. 故其 nnn 階導函數為 f(n)(x)=(−1)n(n!xn+1+2n(n+1)!(2x+1)n+2).\boxed{ f^{(n)}(x)=(-1)^n\left( \frac{n!}{x^{n+1}} +\frac{2^n(n+1)!}{(2x+1)^{n+2}} \right)}.f(n)(x)=(−1)n(xn+1n!+(2x+1)n+22n(n+1)!).
