題目

Problem

（貳）計算證明題：必須有計算過程，才予計分。共 5 題，每題 8 分，計 40 分。

解答

展開

在 $x=t$ 的切線為 $y=3t^2x-2t^3$ 。它通過 $(a,b)$ 當且僅當

h(t)=2t^3-3at^2+b=0.

其中 $h'(t)=6t(t-a)$ 。因 $a,b>0$ ，要有三個相異實根，需使局部極小值 $h(a)=b-a^3$ 為負；此時一根為負、另兩根為正，正好對應三條切線。故充分必要條件為

\boxed{a>0,\quad 0<b<a^3}.